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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 882: Länge und Schwerpunkt einer Kettenlinie


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ist $ \mbox{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ eine differenzierbare Funktion, so berechnet sich die Länge seines Graphen zu

$ \mbox{$\displaystyle
L(f) \; :=\; \int_a^b (1+f'(x)^2)^{1/2}\,{\mbox{d}}x\; ,
$}$
und die Höhe seines Schwerpunktes zu
$ \mbox{$\displaystyle
H(f) := L(f)^{-1}\int_a^b f(x)(1+f'(x)^2)^{1/2}\,{\mbox{d}}x\; .
$}$

(1)
Sei $ \mbox{$f:[-1,+1]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ mit $ \mbox{$f(x) := \cosh x - \cosh 1$}$. Berechne $ \mbox{$L(f)$}$.
(2)
Berechne $ \mbox{$H(f)$}$. Vergleiche mit der Höhe des Schwerpunktes eines "dreieckigen" Polygonzuges gleicher Länge durch Punkte $ \mbox{$(-1,0)$}$, $ \mbox{$(0,-a)$}$, $ \mbox{$(+1,0)$}$ für ein $ \mbox{$a\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$.
(3)
Berechne den Umfang eines Kreises von Radius $ \mbox{$1$}$ unter Verwendung der Funktion $ \mbox{$g(x) = \sqrt{1 - x^2}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Lösungen:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 2.  9. 2005