Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 91: Konvergenz und Grenzwert von Folgen

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	Aufgabe 91: Konvergenz und Grenzwert von Folgen

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Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und geben Sie zu jeder konvergenten Folge den Grenzwert an.

a) $a_n={\displaystyle{\frac{(3n-4)(n^2+1)}{7n\,(2n^2+10000)}}}$ b) $a_n={\displaystyle{n\left(1-\sqrt{1-\frac{c}{n}}\; \right),}} \quad c\leq 1$

c) $a_n={\displaystyle{\left(1-\frac{c}{n}-\frac{c^2}{n^3}\;\right)^{\!n},}} \quad c\in\mathbb{R}$ d) $a_n={\displaystyle{{\mathrm{sp}}(A^n), \quad A=\left(\begin{array}{cc} 0 & {\mathrm{i}} \\ {\mathrm{i}} & 0\end{array}\right)}}$

e) $a_n={\rm {e}}^{-\frac{1}{3}n\pi}$ f) $a_n={\rm {e}}^{-\frac{1}{3}n\pi{\mathrm{i}}}$

(Aus: HM I , 1994-2002)

Lösung:

Lösung (Ausgearbeitet von Denise Güttler )

[Verweise]

automatisch erstellt am 13. 12. 2007

a)	$a_n={\displaystyle{\frac{(3n-4)(n^2+1)}{7n\,(2n^2+10000)}}}$	b)	$a_n={\displaystyle{n\left(1-\sqrt{1-\frac{c}{n}}\; \right),}} \quad c\leq 1$
c)	$a_n={\displaystyle{\left(1-\frac{c}{n}-\frac{c^2}{n^3}\;\right)^{\!n},}} \quad c\in\mathbb{R}$	d)	$a_n={\displaystyle{{\mathrm{sp}}(A^n), \quad A=\left(\begin{array}{cc} 0 & {\mathrm{i}} \\ {\mathrm{i}} & 0\end{array}\right)}}$
e)	$a_n={\rm {e}}^{-\frac{1}{3}n\pi}$	f)	$a_n={\rm {e}}^{-\frac{1}{3}n\pi{\mathrm{i}}}$