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Mathematik-Online-Lexikon:

Stetige Funktionen auf einem Gebiet

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Für ein Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^d$ sei

$\displaystyle K_1 \subset K_2 \subset K_3\subset \cdots \subset D $

eine das Gebiet ausschöpfende Folge kompakter Mengen. Dann wird auf dem Raum $ C(D)$ der (reell- oder komplexwertigen) stetigen Funktionen auf $ D$ durch die Halbnormen

$\displaystyle \vert f\vert _{j} =\max_{x\in K_j} \vert f(x)\vert $

eine Metrik induziert mit

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{j=1}^\infty 2^{-j} \frac{\vert f-g\vert _{j}}{1+\vert f-g\vert _{j}}\,. $

Konvergenz bezüglich dieser Metrik entspricht gleichmäßiger Konvergenz auf beliebigen kompakten Teilmengen $ K\subset D$. Damit folgt die Vollständigkeit, denn Stetigkeit bleibt bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten.

Mit $ C_0(D)$ wird die Menge der stetigen Funktionen auf $ D$ mit kompaktem Träger bezeichnet.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013