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Mathematik-Online-Lexikon:

Schwache Ableitung

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Mit Hilfe von partieller Integration lässt sich der klassische Ableitungsbegriff verallgemeinern. Man bezeichnet eine Funktion

$\displaystyle \partial^\alpha f,\quad \partial^\alpha=\prod_\nu \left(\frac{\partial}{\partial x_\nu}\right)^{\alpha_\nu } $

als schwache Ableitung einer auf einem Gebiet $ D$ definierten Funktion $ f$ , wenn

$\displaystyle \int\limits_D \partial^\alpha f(x)g(x) \,dx = (-1)^{\vert\alpha\v... ...nt \limits_D f(x) \partial^\alpha g(x)\,dx ,\quad \forall g\in C_0^\infty (D), $

mit $ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ , $ \vert\alpha\vert=\alpha_1+\cdots\alpha_n$ gilt. Dabei wird vorausgesetzt, daß beide Integrale für alle Testfunktionen $ g$ existieren. Dies ist z. B. der Fall, wenn $ \partial^\alpha f$ und $ f$ auf jeder kompakten Teilmenge von $ D$ absolut integrierbar sind.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013