Mathematik-Online-Lexikon: Stetige Funktionen auf einer kompakten Menge

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	Stetige Funktionen auf einer kompakten Menge

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Übersicht

Der Raum

der stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen auf einer kompakten Teilmenge $K\subseteq\mathbb{R}^n$ ist ein Banach-Raum bezüglich der durch

$\displaystyle \Vert f\Vert _\infty = \max_{x\in K} \vert f(x)\vert$

definierten Norm. Die Vollständigkeit folgt, da Stetigkeit bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten bleibt.

Die Kompaktheit des Definitionsbereichs ist wesentlich. Stetige Funktionen auf offenen oder unbeschränkten Mengen müssen kein Maximum besitzen, haben daher unter Umständen keine endliche Norm.

[Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013