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Mathematik-Online-Lexikon:

Differenzierbare Funktionen auf einer kompakten Menge

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Der Raum $ C^{m}(K)$ der $ m$-mal stetig differenzierbaren (reell- oder komplexwertigen) Funktionen auf einer kompakten Teilmenge $ K\subseteq\mathbb{R}^n$ ist ein Banach-Raum bezüglich der durch

$\displaystyle \Vert f\Vert _{k,\infty} = \sum_{\vert\alpha\vert\le k} \Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty $

definierten Norm. Die Vollständigkeit folgt, da stetige Differenzierbarkeit der partiellen Ableitungen $ \partial^\alpha f$, $ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten bleibt.

Die Kompaktheit des Definitionsbereichs ist wesentlich. Stetige Funktionen auf offenen oder unbeschränkten Mengen müssen kein Maximum besitzen, haben daher unter Umständen keine endliche Norm.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013