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Mathematik-Online-Lexikon:

Differenzierbare Funktionen auf einer kompakten Menge

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Der Raum $ C^{m}(K)$ der $ m$-mal stetig differenzierbaren (reell- oder komplexwertigen) Funktionen auf einer kompakten Teilmenge $ K\subseteq\mathbb{R}^n$ ist ein Banach-Raum bezüglich der durch

$\displaystyle \Vert f\Vert _{k,\infty} = \sum_{\vert\alpha\vert\le k} \Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty $

definierten Norm. Die Vollständigkeit folgt, da stetige Differenzierbarkeit der partiellen Ableitungen $ \partial^\alpha f$, $ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten bleibt.

Die Kompaktheit des Definitionsbereichs ist wesentlich. Stetige Funktionen auf offenen oder unbeschränkten Mengen müssen kein Maximum besitzen, haben daher unter Umständen keine endliche Norm.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013