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Mathematik-Online-Lexikon:

Sobolev-Raum

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Für ein Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^n$ bezeichnet

$\displaystyle W^{k,p}(D),\quad k\in\mathbb{N}_0,\quad 1\le p\le\infty, $

den Banach-Raum der Funktionen mit schwachen partiellen Ableitungen der Ordnung $ \le k$ in $ L^p(D)$ und

$\displaystyle \Vert f\Vert _{k,p}$ $\displaystyle = \left(\sum_{\vert\alpha\vert\le k} \int\limits_D\vert\partial^\alpha f(x)\vert^p\,dx\right)^{1/p},\quad 1\le p<\infty$    

bzw.


$\displaystyle \Vert f\Vert _{k,\infty}$ $\displaystyle = \max_{\vert\alpha\vert\le k}\Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty... ...le k}\,\underset{x\in D}{\operatorname{ess~sup}} \vert\partial^\alpha f(x)\vert$    

die zugehörige Norm. Die zugehörige Halbnorm

$\displaystyle \vert f\vert _{k,p}$ $\displaystyle = \left(\sum_{\vert\alpha\vert= k} \int\limits_D\vert\partial^\alpha f(x)\vert^p\,dx\right)^{1/p},\quad 1\le p<\infty$    

bzw.


$\displaystyle \vert f\vert _{k,\infty}$ $\displaystyle = \max_{\vert\alpha\vert= k}\Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty= ... ...t= k}\,\underset{x\in D}{\operatorname{ess~sup}} \vert\partial^\alpha f(x)\vert$    

verwendet nur die Ableitungen der höchsten Ordnung.

Insbesondere ist

$\displaystyle W^{0,p}(D)=L^p(D)\,. $

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013