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Mathematik-Online-Lexikon:

Sobolev-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen

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Für ein Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^n$ bezeichnet $ H^k(D)=W^{k,2}(D)$ den Hilbert-Raum der (reell- oder komplexwertigen) Funktionen mit quadratintegrierbaren schwachen partiellen Ableitungen der Ordnung $ \le k$ mit der durch das Skalarprodukt

$\displaystyle \langle f ,g\rangle_{k,2} = \sum_{\vert\alpha\vert\le k} \int\limits_D \partial^\alpha f(x)\overline{\partial^\alpha g(x)}\,dx $

induzierten Norm $ \Vert\cdot\Vert _{k,2}$. Die zugehörige Halbnorm

$\displaystyle \vert f\vert _{k,2} = \left( \sum_{\vert\alpha\vert= k}\int\limits_D \vert\partial^\alpha f(x)\vert^2\,dx\right)^{1/2} $

verwendet nur die Ableitungen höchster Ordnung.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013