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Mathematik-Online-Lexikon:

Schnell abfallende Testfunktion

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Der Raum der schnell abfallenden Testfunktionen $ \mathcal{S}$ enthält die komplexwertigen Funktionen $ f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ mit

$\displaystyle \vert f\vert _{\alpha,\beta} = \sup\limits_{x\in \mathbb{R}^n} \vert x^\alpha \partial^\beta f(x)\vert < \infty $

für alle Multiindizes $ \alpha,\beta$.

Die Halbnorm $ \vert\ \vert _{\alpha,\beta}$ definiert eine Metrik auf $ \mathcal{S}$. Für eine beliebige fest gewählte Folge $ (\alpha_k,\beta_k)$ der Multiindexpaare setzt man

$\displaystyle \varrho_k(f)=\frac{\vert f\vert _{\alpha_k,\beta_k}}{1+\vert f\vert _{\alpha_k,\beta_k}} $

und definiert

$\displaystyle d(f,g) = \sum\limits_{k=1}^\infty 2^{-k}\varrho_k(f-g) $

als kanonische Abstandsfunktion.

Der Raum $ \mathcal{D}=C_0^\infty\left(\mathbb{R}^n\right)$ der Testfunktionen von Schwartz ist ein dichter Unterraum von $ \mathcal{S}$. Bei der Analysis stetiger Abbildungen auf $ \mathcal{S}$ kann man sich deshalb auf Testfunktionen mit kompaktem Träger beschränken.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013