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Mathematik-Online-Lexikon:

Ableitung

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Eine Funktion $ f$ ist in einem Punkt $ a$ differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert

$\displaystyle f'(a)= \lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $

existiert.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{a_ableitung_bild_1}

Geometrisch bedeutet Differenzierbarkeit, dass die Steigungen der Sekanten gegen die Steigung der durch

$\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a) $

gegebenen Tangente konvergieren.
Man schreibt auch

$\displaystyle f'(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}f(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}\, $

mit $ y = f(x)$. Diese Schreibweise symbolisiert den Grenzübergang $ \Delta{x} \rightarrow 0$ in dem Differenzenquotienten

$\displaystyle \displaystyle\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{x + \Delta{x} - x}\,. $

Höhere Ableitungen werden mit $ f'',f''',\ldots$ bzw. $ f^{(2)},f^{(3)},\ldots$ bezeichnet.
Eine Funktion $ f$ heißt differenzierbar auf einer Menge $ D$, wenn $ f^\prime (x)$ für alle $ x \in D$ existiert.
[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  6. 2016