Mathematik-Online-Lexikon: Approximierende Identität

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	Approximierende Identität

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Sei $\varphi \in \mathcal{D}$ eine Testfunktion mit

$\displaystyle \varphi \geq 0\,,\quad \int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi = 1$

und $\varphi_\varepsilon (x) = \varepsilon^{-n} \varphi(x/\varepsilon)$ , dann gilt

$\displaystyle \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \varphi_\varepsilon \star f = f\,,\quad f \in L^p\left(\mathbb{R}^n\right)\,.$

$\includegraphics[width=.4\textwidth]{a_approx_bild1.eps}$

Die Abbildung zeigt $\varphi_\varepsilon$ für $\varepsilon = 1,.75,.5,.25,.125$ und $\varphi = c\exp(1/(x^2-1))\,,x\in \mathbb{R}$ .

Die Faltung kann zur Glättung von Funktionen verwendet werden, denn

$\displaystyle \varphi_\varepsilon \star f \in L^p\cap C^\infty\,.$

Mit Hilfe dieses Approximations-Prozesses genügt es beispielsweise, Identitäten für stetige lineare Operatoren nur für glatte Funktionen zu beweisen.

automatisch erstellt am 19. 8. 2013