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Mathematik-Online-Lexikon:

Approximierende Identität

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Sei $ \varphi \in \mathcal{D}$ eine Testfunktion mit

$\displaystyle \varphi \geq 0\,,\quad \int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi = 1 $

und $ \varphi_\varepsilon (x) = \varepsilon^{-n} \varphi(x/\varepsilon)$, dann gilt

$\displaystyle \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \varphi_\varepsilon \star f = f\,,\quad f \in L^p\left(\mathbb{R}^n\right)\,. $

\includegraphics[width=.4\textwidth]{a_approx_bild1.eps}

Die Abbildung zeigt $ \varphi_\varepsilon$ für $ \varepsilon = 1,.75,.5,.25,.125$ und $ \varphi = c\exp(1/(x^2-1))\,,x\in \mathbb{R}$.

Die Faltung kann zur Glättung von Funktionen verwendet werden, denn

$\displaystyle \varphi_\varepsilon \star f \in L^p\cap C^\infty\,. $

Mit Hilfe dieses Approximations-Prozesses genügt es beispielsweise, Identitäten für stetige lineare Operatoren nur für glatte Funktionen zu beweisen.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013