Mathematik-Online-Lexikon: Regeln für die Fourier-Transformation von temperierten Distributionen

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	Regeln für die Fourier-Transformation von temperierten Distributionen

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Übersicht

Analog zur Fourier-Transformation von Funktionen gelten die folgenden Identitäten für schnell abfallende Testfunktionen $\varphi \in \mathcal{S}$ und temperierte Distributionen $\Lambda \in \mathcal{S}'$ :

Differentiation und Multiplikation:
Für ein Polynom $p(y)=\sum a_\alpha y^\alpha$ gilt

$\displaystyle \widehat{p(-\mathrm{i}\partial)\Lambda} = p\hat{\Lambda}\,.$

Dabei ist $p(-\mathrm{i}\partial)=\sum a_\alpha(-\mathrm{i})^{\vert\alpha\vert}\partial^\alpha$ . Insbesondere entspricht also der partiellen Ableitung $-\mathrm{i}\partial_\nu$ die Multiplikation mit $y_\nu$ (hierbei ist $p(y)=y_\nu$ ).
Entsprechend gilt

$\displaystyle \widehat{p\Lambda}=p(\mathrm{i}\partial)\hat{\Lambda}\,.$
Faltung:

$\displaystyle \widehat{\Lambda\star\varphi} = \hat{\varphi}\hat{\Lambda}\,.$

[Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013