Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Poisson-Formel für die Kreisscheibe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Eine in einer Kreisscheibe

$\displaystyle B: r=\vert(x,y)\vert<R $

harmonische und auf $ \bar{B}$ stetige Funktion $ u$ besitzt in Polarkoordinaten die Integraldarstellung

$\displaystyle u(r,\varphi)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2} {R^2-2rR\cos(\varphi-\varphi')+r^2}u(R,\varphi')\,d\varphi'\ . $

Als Spezialfall erhält man für $ r=0$ die sogenannte Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen:

$\displaystyle u(0,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(R,\varphi')\,d\varphi'\ . $

Aus der Poisson-Formel folgt, daß harmonische Funktionen im Inneren ihres Definitionsgebietes unendlich oft differenzierbar sind. Desweiteren gilt das Maximumprinzip:

$\displaystyle \vert u(r,\varphi)\vert \le \max_{\varphi^\prime} \vert u(R,\varphi^\prime)\vert \,. $

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013