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Mathematik-Online-Lexikon:

Entwicklung harmonischer Funktionen auf einer Kugel nach Kugelfunktionen

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Eine auf der Kugel $ D:\ r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<R$ harmonische Funktion $ u$, d.h. eine Lösung der Laplace-Gleichung

$\displaystyle \Delta u(x) = 0,\quad x\in D\,, $

läßt sich in Kugelkoordinaten $ (r,\vartheta,\varphi)$ nach Kugelflächenfunktionen entwickeln:

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle u(r,\vartheta,\varphi) = \su... ...k\vert}(\cos\vartheta)\, e^{\mathrm{i}k\varphi} \,, \end{array}\end{displaymath}

mit

$\displaystyle P_{n,k}(z) = \frac{1}{2^n n!}\,(1-z^2)^{k/2} \left(\frac{d}{dz}\right)^{n+k} (z^2-1)^n,\quad k=0,\ldots,n \,, $

den Legendre-Funktionen.

Aufgrund der Orthogonalität der Basisfunktionen erhält man die Koeffizienten durch Bilden von Skalarprodukten mit den Randwerten:

$\displaystyle c_{n,k} = \frac{(2n+1)(n-k)!}{2\pi(n+k)!} \int_0^{2\pi}\int_0^\p... ...(\cos\vartheta)e^{\mathrm{i}k\varphi}\, \sin\vartheta\,d\vartheta d\varphi \,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013