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Mathematik-Online-Lexikon:

Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf der Einheitskreisscheibe


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Das Eigenwertproblem

$\displaystyle -\Delta u = \lambda u\ (r<1),\quad
u=0\ (r=1),
$

auf der Einheitskreisscheibe $ D:\ r=\vert(x_1,x_2)\vert<1$ besitzt die Eigenfunktionen

$\displaystyle u_{k,n}(r,\varphi) =
J_{\vert k\vert}(\mu_{\vert k\vert,n}r) e^{\mathrm{i}k\varphi},
\quad k\in\mathbb{Z},\, n\in\mathbb{N}\,,
$

mit $ \mu_{\vert k\vert,n}>0$ den Nullstellen der Bessel-Funktion $ J_{\vert k\vert}$. Die entsprechenden Eigenwerte sind $ \lambda_{k,n}=\mu_{\vert k\vert,n}^2$.

Die Funktionen $ u_{k,n}$ bilden ein vollständiges Orthogonalsystem im Raum $ L_2(D)$ der auf $ D$ quadratintegrierbaren Funktionen bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_D fg\,.
$

Insbesondere besitzt jede Lösung der Poisson-Gleichung $ -\Delta u = f$ die Entwicklung

$\displaystyle u = \sum_{k\in\mathbb{Z}}\sum_{n\in\mathbb{N}}
\frac{1}{\lambda_...
...rac{\langle f,u_{k,n} \rangle}
{\langle u_{k,n},u_{k,n} \rangle}\, u_{k,n}
\,.
$

siehe auch:


[Erläuterungen]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013