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Mathematik-Online-Lexikon:

Iterationsverfahren

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Bei vielen numerischen Simulationen, z.B. bei der Finiten-Elemente-Analyse, müssen die Lösungen großer, dünn besetzter linearer Gleichungssysteme $ Ax=b$ berechnet werden.

Eine direkte Lösung solcher linearen Gleichungssysteme z.B. mit Eliminationsverfahren führt dabei meist zur Zerstörung der dünn besetzten Struktur und würde daher zusätzlichen Speicherplatz erfordern. Darüber hinaus kann die Akkumulation von Rundungsfehlern zu einem erheblichen Genauigkeitsverlust führen.

Eine Möglichkeit, dies zu vermeiden, sind iterative Lösungsverfahren. Hier wird, ausgehend von einer Näherungslösung $ x_0$, mit einer Iterationsvorschrift

$\displaystyle x_{\ell+1}=f(x_\ell) $

eine Folge von Näherungslösungen $ x_\ell$ bestimmt, die gegen die exakte Lösung $ x_\ast$ des Gleichungssystems konvergieren. Da die exakte Lösung $ x_\ast$ im Allgemeinen nicht bekannt ist, wird das Verfahren beendet, wenn eine festgelegte Anzahl von Schritten durchgeführt wurde, sich zwei aufeinander folgende Folgenglieder nur noch wenig unterscheiden oder die Norm des Residuums $ Ax_\ell -b$ genügend klein ist.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013