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Mathematik-Online-Lexikon:

Funktionsgrenzwerte


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Der Abschluß einer Menge.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $ \mbox{$z_0\in\mathbb{C}$}$ heiße Berührpunkt von $ \mbox{$D$}$, falls jede $ \mbox{$\varepsilon $}$-Umgebung $ \mbox{$B_\varepsilon (z_0) = \{ z\in\mathbb{C}\; \vert\; \vert z - z_0\vert < \varepsilon \}$}$ mit $ \mbox{$D$}$ nichtleeren Schnitt hat. Insbesondere sind alle Punkte in $ \mbox{$D$}$ auch Berührpunkte von $ \mbox{$D$}$.

Die Menge aller Berührpunkte wird als Abschluß von $ \mbox{$D$}$ bezeichnet, und

$ \mbox{$\displaystyle
\bar{D} \; :=\; \{ z\in\mathbb{C}\; \vert\; B_\varepsilon (z) \cap D\neq\emptyset \;\;\forall\,\varepsilon > 0\}
$}$
geschrieben. Dies ist zugleich die Menge der Punkte $ \mbox{$z$}$ in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$, für die eine Folge mit Folgengliedern in $ \mbox{$D$}$ existiert, welche gegen $ \mbox{$z$}$ konvergiert.

Ist $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$, dann ist auch $ \mbox{$\bar{D}\subseteq \mathbb{R}$}$.

Begriff.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$ eine Teilmenge, und sei $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine Funktion. (Dies deckt wegen $ \mbox{$\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$}$ auch den Fall reeller Funktionen ab.)

Es heißt $ \mbox{$y_0\in\mathbb{C}$}$ der Grenzwert von $ \mbox{$f$}$ an der Stelle $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$, falls es für alle $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ gibt mit

$ \mbox{$\displaystyle
\vert f(x) - y_0\vert \; < \; \varepsilon
$}$
für alle $ \mbox{$x\in D$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle
\vert x - x_0\vert\; < \; \delta\; .
$}$
In anderen Worten, für alle $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ gibt es ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ so, daß $ \mbox{$f(B_\delta(x_0)\cap D) \subseteq B_\varepsilon (y_0)$}$.

Existiert der Grenzwert $ \mbox{$y_0$}$ bei $ \mbox{$x_0$}$, dann sagen wir, $ \mbox{$f$}$ konvergiert an der Stelle $ \mbox{$x_0$}$ gegen $ \mbox{$y_0$}$ und schreiben

$ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to x_0} f(x) \; =\; \lim_{x\to x_0,\; x\in D} f(x) \; := \; y_0\; .
$}$
(Manche Autoren setzen auch $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} f(x) \; = \lim_{x\to x_0,\; x\in D\backslash \{ x_0\}} f(x)$}$, unter weiteren Voraussetzungen an $ \mbox{$x_0$}$.)

Ist $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$, so schreibt man

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\lim_{x\to x_0-} f(x) \; :=\; \lim_{x...
...(x) \; :=\; \lim_{x\to x_0,\; x\in D\cap (x_0,+\infty)} f(x) \\
\end{array}$}$
für den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert bei $ \mbox{$x_0$}$ (vorausgesetzt, es ist $ \mbox{$D\cap (-\infty)\neq\emptyset $}$ bzw. $ \mbox{$D\cap (x_0,+\infty)\neq\emptyset $}$).

Unendlich.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$, sei $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{R}$}$ eine Funktion, und sei $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$.

Im folgenden bezeichnen die Klammern ( ) und [ ] die jeweiligen Fälle.

Wir schreiben $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty \;\; (-\infty)$}$, falls für alle $ \mbox{$e > 0$}$ ein $ \mbox{$\delta > 0$}$ existiert mit

$ \mbox{$\displaystyle
f(x) \; >\; e \;\; (\; <\; -e\; )
$}$
für alle $ \mbox{$x\in D$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle
\vert x - x_0\vert\; < \; \delta\; .
$}$

Wir schreiben $ \mbox{$\lim_{x\to +\infty} f(x) = y_0$}$ [ $ \mbox{$\lim_{x\to -\infty} f(x) = y_0$}$], falls für alle $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ ein $ \mbox{$d > 0$}$ existiert mit

$ \mbox{$\displaystyle
\vert f(x) - y_0\vert \; < \; \varepsilon
$}$
für alle $ \mbox{$x\in D$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle
x \; > \; d \;\;  {[\; < \; -d\; ]} \; .
$}$
Dies hat nur einen Sinn, falls $ \mbox{$D$}$ nach oben [nach unten] unbeschränkt ist.

Wir schreiben $ \mbox{$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$}$ ( $ \mbox{$-\infty$}$) [ $ \mbox{$\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty$}$ ( $ \mbox{$-\infty$}$)], falls für alle $ \mbox{$e > 0$}$ ein $ \mbox{$d > 0$}$ existiert mit

$ \mbox{$\displaystyle
f(x) \; >\; e \;\; (\; <\; -e\; )
$}$
für alle $ \mbox{$x\in D$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle
x \; > \; d \;\; {[\; < \; -d\; ]} \; .
$}$
Auch dies hat nur einen Sinn, falls $ \mbox{$D$}$ nach oben [nach unten] unbeschränkt ist.

In all diesen Fällen heißt $ \mbox{$f$}$ an der betrachteten Stelle bestimmt divergent.

Folgenkriterium.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$ eine Teilmenge, sei $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine Funktion, sei $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$, und sei $ \mbox{$y_0\in\mathbb{C}$}$.

Es ist $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0$}$ genau dann, wenn für jede Folge $ \mbox{$(x_n)_{n\geq 1}$}$ mit $ \mbox{$x_n\in D$}$ und $ \mbox{$x_n\to x_0$}$ auch $ \mbox{$f(x_n)\to y_0$}$ geht für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

Variante.

Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$ eine Teilmenge, sei $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{R}$}$ eine Funktion, sei $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$, und sei $ \mbox{$y_0\in\hat {\mathbb{R}}$}$. Ist $ \mbox{$D$}$ nach oben [unten] unbeschränkt, so lassen wir auch noch $ \mbox{$x_0 = +\infty$}$ [ $ \mbox{$x_0 = -\infty$}$] zu.

Es ist $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0$}$ genau dann, wenn für jede Folge $ \mbox{$(x_n)_{n\geq 1}$}$ mit $ \mbox{$x_n\in D$}$ und $ \mbox{$x_n\to x_0$}$ auch $ \mbox{$f(x_n)\to y_0$}$ geht für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

Grenzwertregeln.

Elementare Regeln. Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{C}$}$ eine Teilmenge, seien $ \mbox{$f,g:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ Funktionen, die an der Stelle $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$ konvergieren, und seien $ \mbox{$\lambda,\mu\in\mathbb{C}$}$. Es gelten folgende Regeln.

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\lim_{x\to x_0} (\lambda f(x) + \mu g...
... / g(x)) & = & (\lim_{x\to x_0} f(x))/(\lim_{x\to x_0} g(x)) \\
\end{array}$}$
Für die Divisionsregel brauchen wir $ \mbox{$g(x)\neq 0$}$ für $ \mbox{$x\in D$}$ (ggf. nach Verkleinerung von $ \mbox{$D$}$) und auch $ \mbox{$\lim_{x\to x_0} g(x)\neq 0$}$.

Zweiseitige Betrachtung. Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$ eine Teilmenge, sei $ \mbox{$f:D\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine Funktion, und sei $ \mbox{$x_0\in\bar{D}$}$. Falls links- und rechtsseitiger Grenzwert bei $ \mbox{$x_0$}$ existieren und übereinstimmen, so konvergiert $ \mbox{$f$}$ in $ \mbox{$x_0$}$, und es ist

$ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to x_0} f(x) \; =\; \lim_{x\to x_0-} f(x)\; =\; \lim_{x\to x_0+} f(x)\; .
$}$
Und umgekehrt, wenn der Grenzwert bei $ \mbox{$x_0$}$ existiert, so existiert er auch links- und rechtsseitig, und die Grenzwerte stimmen überein.

Verkettungsregel. Seien $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ komplexwertige Funktionen, sei $ \mbox{$\lim_{z\to z_0} f(z) = w_0$}$, und sei $ \mbox{$\lim_{w\to w_0} g(w) = v_0$}$. Dann ist $ \mbox{$\lim_{z\to z_0} g(f(z)) = v_0$}$. Analoge Regeln gelten bei $ \mbox{$\pm\infty$}$.












(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

[Beispiele] [Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006