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Mathematik-Online-Lexikon:

Frattinigruppe

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Sei $ G \neq 1$ eine endliche Gruppe. Dann nennt man den Durchschnitt aller maximalen Untergruppen von $ G$ die Frattinigruppe $ \Phi(G)$. Die Frattinigruppe besitzt folgende Eigenschaften:
a)
$ \Phi(G)$ char $ G$.
b)
Ist $ S \subseteq G$ mit $ G=\langle S,\Phi(G) \rangle$, dann ist $ G=\langle S \rangle$, d.h.
die Frattinigruppe besteht aus genau den Elementen von $ G$, die in jedem Erzeugendensystem überflüssig sind.
c)
Ist $ d(G)$ die minimale Erzeugendenzahl von $ G$, dann ist

$\displaystyle d(G)=d(G \, / \, \Phi(G) ) $

d)
Ist $ G$ eine $ p$ - Gruppe, dann ist $ N=\Phi(G)$ der kleinste Normalteiler von $ G$, so dass

$\displaystyle G \, / \, N \cong C_p \times \ldots \times C_p $

gilt.
e)
(Frattini): $ \Phi(G)$ ist nilpotent.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3. 11. 2006