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Mathematik-Online-Lexikon:

Bessel-Differentialgleichung

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Die Bessel-Differentialgleichung

$\displaystyle z^2u''(z)+zu'(z)+(z^2-\alpha^2)u(z)=0 $

besitzt für $ \alpha \notin \mathbb{Z}$ die als Bessel-Funktion bezeichneten, linear unabhängigen Lösungen

$\displaystyle J_{ \alpha}(z) = \left( \frac{z}{2} \right)^\alpha \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n! \Gamma(\alpha +n+1)} \left( \frac{z}{2} \right)^{2n} $

und

$\displaystyle J_{- \alpha}(z) = \left( \frac{z}{2} \right)^{-\alpha} \sum_{n=0}... ...ty \frac{(-1)^n}{n! \Gamma(-\alpha +n+1)} \left( \frac{z}{2} \right)^{2n}\,. $

Für $ \alpha \in \mathbb{Z} $ existiert eine Lösung mit der angegebenen Reihendarstellung nur für den positiven Index. Die zweite linear unabhängige Lösung ist in diesem Fall eine sogenannte Bessel-Funktion zweiter Art.

Einige spezielle Bessel-Funktionen sind

$\displaystyle J_0(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left( \frac{z}{2} \right)^{2n} $

und

$\displaystyle J_{1/2}(z) =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin z}{\sqrt{z}}\,, \qquad J_{-1/2}(z) =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\cos z}{\sqrt{z}}\,. $

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013