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Mathematik-Online-Lexikon:

Numerische Lösung von Differentialgleichungssystemen

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Bei der numerischen Berechnung der Lösung $ (u_1(t),\ldots,u_d(t))^\mathrm{t}$ eines Anfangswertproblems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) \,, \quad u(t_0)=u_0\,, $

für ein System von Differentialgleichungen werden sukzessive Näherungen

$\displaystyle u_\ell^h \approx u(t^h_\ell),\quad t^h_{\ell+1} = t^h_\ell+h_\ell \,, $

für eine Folge $ h_1,h_2,\ldots$ hinreichend kleiner Schrittweiten berechnet.

Ein Einschrittverfahren hat die Form

$\displaystyle u_{\ell+1}^h = u_\ell^h + h_\ell \Phi\left(t^h_\ell,h_\ell,u_{\ell+1}^h,u_\ell^h,f \right) \,, $

d.h. nur die letzte der bereits bestimmten Näherungen wird zur Berechnung von $ u_{\ell+1}^h$ herangezogen. Bei einem $ n$ -Schrittverfahren hängt die Verfahrensfunktion $ \Phi$ von $ u_{\ell-n+1}^h,\ldots,u_\ell^h, u_{\ell+1}^h$ , also den $ n$ letzten Näherungen ab. Hängt $ \Phi$ nicht von $ u_{\ell+1}^h$ ab, so bezeichnet man das Verfahren als explizit, sonst als implizit.

Bei der Wahl eines Verfahrens müssen Aufwand und Genauigkeit gegeneinander abgewogen werden. Darüber hinaus ist eine Schrittweitensteuerung für die Effizienz der Berechnung von entscheidender Bedeutung.

siehe auch:

[Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013