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Mathematik-Online-Lexikon:

Formelsammlung: Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

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 Cauchy-Riemann

Differentialgleichungen

 $ f$ komplex differenzierbar:

$ f^\prime(z) = f_x(z) = -\mathrm{i}f_y(z) \quad\Leftrightarrow\quad u_x = v_y\,,\quad u_y = - v_x$

$ \Rightarrow \Delta u = \Delta v = 0$
    
 konjugiert harmonische

Funktion

 $ \Delta u=0$ auf $ D$ einfach zusammenhängend

$ \Rightarrow \exists v: \Delta v=0$ und $ f=u+\mathrm{i}v$ komplex differenzierbar
    
 Isotropie

und Winkeltreue

 Abbildung $ z\mapsto w(z)$

dreht Richtungen um Winkel $ \operatorname{arg} f'(z)$

streckt Längen um Faktor $ \vert f'(z)\vert$

Orthogonalität krummliniger Gitter bleibt erhalten
    
 elementare Abbildungen  
  
Abbildung Urbild Bild
$ w=z^\alpha$ Sektor $ 0 < \operatorname{arg} z < \gamma$ Sektor $ 0 < \operatorname{arg} w < \gamma \alpha$
     
\begin{displaymath}\begin{array}{cc} & w=\dfrac{z+1}{\mathrm{i}z-\mathrm{i}}\\... ...ightarrow & z=\dfrac{\mathrm{i}w+1}{\mathrm{i}w-1} \end{array}\end{displaymath} Einheitskreisscheibe

$ \vert z\vert<1$

obere Halbebene

$ \operatorname{Im} w > 0$

     
\begin{displaymath}\begin{array}{cc} &w=e^z \\ \Leftrightarrow & z=\operatorname{Ln} w\end{array}\end{displaymath} Streifen $ 0 < \operatorname{Im} z < \gamma $ Sektor $ 0 < \operatorname{arg} w < \gamma$

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013