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Mathematik-Online-Lexikon:

Formelsammlung: Potenzreihen

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Taylor-Polynom $ \displaystyle p_n(z) = \sum\limits_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(z-a)^j$

Restglied:

$ \displaystyle f(z) - p_n(z) = \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\,\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}(w-z)}\,dw\right) \,(z-a)^{n+1}$
   
Taylor-Reihe $ f$ analytisch in $ D: \vert z-a\vert < r$

$ \displaystyle f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$,      $ \displaystyle c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$

Konvergenzradius $ r$: Abstand zur nächsten Singularität

$ r= \left(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\vert c_n\vert^{1/n} \right)^{-1}$
   
Laurent-Reihe $ f$ analytisch in $ D: \ r_1 < \vert z-a\vert < r_2$

$ \displaystyle f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n$,      $ \displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\,\int\limits_C\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,dw$

Konvergenzgebiet: maximaler Kreisring um $ a$ ohne Singularitäten, $ r_1,r_2$: Abstand der begrenzenden Singularitäten zu $ a$

$ r_1= \underset{n\to-\infty}{\overline{\lim}}\vert c_n\vert^{-1/n}$,     $ r_2= \left(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\vert c_n\vert^{1/n} \right)^{-1}$
   
   

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013