Mathematik-Online-Lexikon: Integration trigonometrischer Polynome

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	Integration trigonometrischer Polynome

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Aus

$\displaystyle \int e^{\mathrm{i}kx}\, dx = \frac{1}{\mathrm{i}k} e^{{\mathrm{i}kx}}+c\,, \quad 0\neq k\in \mathbb{Z} \,,$

folgt für ein komplexwertiges trigonometrisches Polynom

$\displaystyle p(x) = \sum_{\left\vert k\right\vert \leq n}c_k e^{{\mathrm{i}kx}}\,,$

dass

$\displaystyle \int p(x) \, dx = c+c_0 x+\sum_{0\neq\left\vert k\right\vert \leq n}\frac{c_k}{\mathrm{i}k} e^{{\mathrm{i}kx}}$

sowie

$\displaystyle \int_\pi^\pi p = 2 \pi c_0$

Mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre können auf diese Weise auch beliebige Polynome in $\sin (kx)$ und $\cos (kx)$ integriert werden.

automatisch erstellt am 19. 8. 2013