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Mathematik-Online-Lexikon:

Trigonometrische Integranden

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Aus den Additionstheoremen folgt für $ a^2 \neq b^2$
$\displaystyle \int \sin(ax)\sin(bx)\, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin((a-b)x)}{2(a-b)}-\frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)}+c$  
$\displaystyle \int \sin(ax)\cos(bx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{\cos((a-b)x)}{2(a-b)}-\frac{\cos((a+b)x)}{2(a+b)} +c$  
$\displaystyle \int \cos(ax)\cos(bx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin((a-b)x)}{2(a-b)} + \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)}+c \,.$  

Insbesondere verschwinden für ganzzahliges $ a,b$ die Integrale über das Periodizitätsintervall $ \left[ -\pi , \pi \right]$. Mit Hilfe von partieller Integration erhält man


$\displaystyle \int \sin^n(ax)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{na}\sin^{n-1}(ax) \cos(ax) + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(ax)dx$  
$\displaystyle \int \cos^n(ax)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{na}\sin(ax) \cos^{n-1}(ax) + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(ax)dx \,.$  

So kann der Exponent sukzessive reduziert werden. Für $ n=2$ folgt speziell


$\displaystyle \int \sin^2 (ax)\, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\sin(2ax)}{4a}+c$  
$\displaystyle \int \cos^2 (ax)\, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{\sin(2ax)}{4a}+c \,.$  

Insbesondere gilt

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2}(nx) \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^{2}(nx) \, dx = \pi $

für $ n \in \mathbb{N}$.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013