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Mathematik-Online-Lexikon:

Schmidt'sche Orthonormierung für Polynome

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Wir wollen das (auf das Intervall $ [-1,1]$ bezogene) Skalarprodukt benutzen, um eine Orthonormalbasis für den Raum $ \operatorname{Pol}\mathbb{R}$ zu erzeugen.
Wir starten mit der Monombasis $ b_1(X)=X^0=1, b_2(X)=X^1, b_3(X)=X^2, \dots, b_j(X)=X^{j-1}, \dots$ und wenden das Schmidtsche Verfahren an:
Normiere $ b_1:$      $ \Vert b_1\Vert = \sqrt{\int\limits_{-1}^11\,dt}=\sqrt {2}$, also $ f_1(X)=\frac1{\sqrt2}$.
setze $ f_2^*=b_2-\left<b_2,f_1\right>f_1$, mit $ \left<b_2,f_1\right>=\int\limits_{-1}^1\frac{t}{\sqrt2}\,dt=0$ ergibt sich also
$ f_2^*=b_2$ und mit $ \Vert f_2^*\Vert^2=\int\limits_{-1}^1t^2\,dt=\frac23$ dann $ f_2(X)=\sqrt{\frac23}X$.
Die allgemeine Formel $ f_{k+1}^*=b_{k+1}-\sum\limits_{j=1}^k\left<b_{k+1},f_j\right>f_j$ liefert für $ k=2$:
$ f_3^*(X)= b_3(X)-\left<b_3,f_1\right>f_1(X)-\left<b_3,f_2\right>f_2(X)$, mit $ \left<b_3,f_1\right>=\int\limits_{-1}^1\frac{t^2}{\sqrt2}\,dt=\frac{\sqrt2}3$ und $ \left<b_3,f_2\right>=\int\limits_{-1}^1t^3\sqrt{\frac32}\,dt = 0$,
also $ f_3^*(X)=X^2-\frac13$ und mit $ \Vert f_3^*\Vert^2=\int\limits_{-1}^1(t^2-\frac13)^2\,dt=\int\limits_{-1}^1t^4-\frac23t^2+\frac19\,dt=\frac8{45}$ somit $ f_3(X)= \frac32 \sqrt{\frac52}\left(X^2-\frac13\right)$.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 29.  8. 2006