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Mathematik-Online-Lexikon:

Homomorphiesatz

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a)
Sei $ N$ ein Normalteiler der Gruppe $ G$. Dann ist die Abbildung

$\displaystyle \kappa : G \longrightarrow G/N \ : \ g \longmapsto gN $

ein surjektiver Gruppenhomorphismus. Man nennt $ \kappa$ die natürliche Projektion von $ G$ auf $ G/N$.
b)
Es sei $ \varphi$ ein Gruppenhomorphismus von $ G$ nach $ H$. Die Menge

$\displaystyle \ker(\varphi) = \left \{g\in G \ \vert \ \varphi(g)=1_H \right\} $

nennt man den Kern der Abbildung $ \varphi$. Der Kern $ \ker(\varphi)$ ist ein Normalteiler von $ G$ und es gilt

$\displaystyle G/\ker(\varphi) \cong \varphi(G) \,. $

Bemerkung: Bei der natürlichen Projektion $ \kappa$ gilt $ \ker(\kappa)=N$.

()

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  9. 2006