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Mathematik-Online-Lexikon:

Zusammenhang


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Es sei $ K = \mathbb{R}$ oder $ \mathbb{C}\hspace{0.1cm}$ und $ \hspace{0.1cm}
\emptyset \neq {\cal M} \subseteq Mat(n,K)$. Ein Weg in $ \cal M$ ist eine stetige Abbildung

$\displaystyle \gamma : [0,1] \rightarrow \cal M. $

Man nennt $ \gamma$(0) den Anfangspunkt, $ \gamma$(1) den Endpunkt von $ \gamma$.

$ X,Y \in \cal M $ heißen verbindbar, wenn es einen Weg $ \gamma$ in $ \cal M$ gibt mit Anfangspunkt $ X$ und Endpunkt $ Y$.

Man kann auf $ \cal M$ eine Äquivalenzrelation $ \sim$ definieren durch $ \hspace{1cm} X \sim Y \hspace{0.5cm}\Leftrightarrow\hspace{0.5cm} X \hspace{0.15cm} \hspace{0.15cm}$ ist mit $ \hspace{0.15cm}
Y \hspace{0.15cm}$ in $ \hspace{0.15cm} {\cal M} \hspace{0.15cm}$ verbindbar.

Die Äquivalenzklassen von $ \sim$ heissen Zusammenhangskomponenten von $ \cal M$.
$ \cal M$ heisst zusammenhängend, wenn es nur eine Zusammenhangskomponente gibt.
Die Zusammenhangskomponente, die das Einselement enthält, wird Einskomponente genannt.

(Autor: Borgart)

Erlńuterung:


[Beispiele] [Verweise]

  automatisch erstellt am 11. 10. 2006