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Mathematik-Online-Lexikon:

Arithmetisch-Geometrisches Mittel

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Bildet man für zwei Startwerte $ a_0=a>b_0=b>0$ wiederholt das arithmetische und das geometrische Mittel,
$\displaystyle a_{k+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_k+b_k)/2$  
$\displaystyle b_{k+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a_k b_k}\,,$  

so konvergieren die Folgen $ (a_k)$ und $ (b_k)$ monoton quadratisch gegen den gemeinsamen von Gauß angegebenen Grenzwert

$\displaystyle \frac{\pi}{2} \left(\int_0^{\pi/2}\frac{ds} {\sqrt{a^2\sin^2s+b^2\cos^2s}}\right)^{-1}. $

Die quadratische Konvergenz der Folgen $ \left(a_n\right)$ und $ \left(b_n\right)$ ist leicht zu zeigen. Aus der Rekursion für die Differenz $ c_n=a_n - b_n$ ,

$\displaystyle c_{n+1}(a_{n+1}+ b_{n+1}) = \frac{1}{4}c_n^2,$

folgt, dass $ c_n$ quadratisch gegen Null konvergiert. Darüber hinaus impliziert

$ (a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$ , dass

$\displaystyle a=a_0 \geq a_1 \geq \cdots \geq b_1 \geq b_0=b. $

Wegen der monotonen Konvergenz ist somit

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n},$

und die quadratische Konvergenz folgt aus der quadratischen Konvergenz der Differenzen.

Für $ a=2; b=1$ erhält man

$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =\textbf{1}.5$    
$\displaystyle b_1$ $\displaystyle =\textbf{1.4}14213562373095048801688724209698078570$    
$\displaystyle a_2$ $\displaystyle =\textbf{1.45}7106781186547524400844362104849039285$    
$\displaystyle b_2$ $\displaystyle =\textbf{1.456}475315121970260851161882473252437140$    
$\displaystyle a_3$ $\displaystyle =\textbf{1.4567910}48154258892626003122289050738213$    
$\displaystyle b_3$ $\displaystyle =\textbf{1.4567910}13939554946194175396981771774775$    
$\displaystyle a_4$ $\displaystyle =\textbf{1.456791031046}906919410089259635411256494$    
$\displaystyle b_4$ $\displaystyle =\textbf{1.4567910310469068}18962775506894753559199$    
$\displaystyle a_5$ $\displaystyle =\textbf{1.45679103104690686918643238326508}2407846$    
$\displaystyle b_5$ $\displaystyle =\textbf{1.456791031046906869186432383265081}542103$    
$\displaystyle a_6$ $\displaystyle =\textbf{1.456791031046906869186432383265081974975}$    
$\displaystyle b_6$ $\displaystyle =\textbf{1.456791031046906869186432383265081974975}$    

Die jeweils bereits korrekten Zifferen von $ a_n$ und $ b_n$ sind fett gedruckt, und man erkennt die für die quadratische Konvergenz typische Stellenverdopplung

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013