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Mathematik-Online-Lexikon:

Darstellung einer Lie-Algebra

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Zu einer Darstellung $ \rho:G\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ der linearen Gruppe $ G$ erhält man einen Lie-Algebren-Homomorphismus

$\displaystyle {\cal L}\rho:{\cal L}G\rightarrow\operatorname{gl}(V),$

also eine $ \mathbb{R}$ -lineare Abbildung mit der Eigenschaft

$\displaystyle {\cal L}\rho\left(\left[X,Y\right]\right)=\left[{\cal L}\rho\left(X\right),{\cal L}\rho\left(Y\right)\right],$ für $\displaystyle X,Y\in{\cal L}G.$

Eine Darstellung der Lie-Algebra $ \cal L$ über $ \mathbb{R}$ ist ein Homomorphismus

$\displaystyle \rho:{\cal L}\rightarrow\operatorname{gl}(V)$

der reellen Lie-Algebren.
Begriffe wie Äquivalenz, invarianter Teilraum, Irreduzibilität, vollständige Reduzibilität etc. übertragen sich in offensichtlicher Weise von Gruppen auf Lie-Algebren.

Es seien $ \rho:G\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ und $ \rho':G\rightarrow\operatorname{GL}(V')$ Darstellungen der linearen Gruppe $ G$ . Dann gilt
  1. Jeder $ \rho$ -invariante Teilraum von $ V$ ist $ {\cal L}\rho$ -invariant.
  2. Ist $ \rho$ äquivalent zu $ \rho'$ , so ist $ {\cal L}\rho$ äquivalent zu $ {\cal L}\rho'$ .
  3. Ist $ G$ zusammenhängend, so gelten in beiden obigen Aussagen auch die Umkehrungen.
Aus obigem folgt, dass für eine zusammenhängende lineare Gruppe $ G$ gilt
  1. Eine Darstellung $ \rho$ von $ G$ is genau dann irreduzibel bzw. vollständig reduzibel, wenn $ {\cal L}\rho$ irreduzibel bzw. vollständig reduzibel ist.
  2. Zwei Darstellungen $ \rho,\rho'$ von $ G$ sind genau dann äquivalent, wenn $ {\cal L}\rho$ und $ {\cal L}\rho'$ äquivalent sind.
(Autor: Hablizel)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  3. 2007