Mathematik-Online-Lexikon: Invarianter Unterraum und Unterdarstellung

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	Invarianter Unterraum und Unterdarstellung

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Übersicht

Sei

eine Darstellung der Gruppe

in den Vektorraum

. Ein Untervektorraum $W \subseteq V$ heißt invariant unter

, wenn $\forall g \in G$ gilt, dass $r(g)W \subseteq W$ ist.

Mit und $\{0\}$ besitzt jede Darstellung mindestens zwei invariante Untervektorräume, die sogenannten trivialen, invarianten Unterräume.

Aus der Gleichung $r(g^{-1})=r(g)^{-1}$ folgt, dass immer gelten muss, denn es ist $W'=r(g^{-1})W \subseteq W$ . Insbesondere also auch $r(g)W' \subseteq r(g)W$ und somit $W\subseteq r(g)W$ .

Betrachtet man $r'=r\vert _W$ , so ist klar, dass es sich dabei wieder um eine Darstellung von handelt. Man nennt eine Unterdarstellung von .

[Verweise]

automatisch erstellt am 31. 10. 2006