Mathematik-Online-Lexikon: Tensorprodukt

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	Tensorprodukt

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Übersicht

Definiert man als :

$\displaystyle T:=\left\{\sum_{i,j}c_{ij}t_{ij} \ \Big \vert \ c_{ij} \in K \right\}$

mit Symbolen $t_{ij}$ für $i\in 1,\dots,n$ und $j \in 1,\ldots,m$ dann wird

zu einem

-dimensionalen Vektorraum über

Seien und Vektorräume mit Basen $(v_1,\ldots,v_n)$ bzw. $(w_1,\ldots,w_m)$ , dann sei zu $v=\sum_{i=1}^na_iv_i$ und $w=\sum_{j=1}^mb_jw_j$ die Verknüpfung $\otimes$ definiert durch:

$\displaystyle v\otimes w=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ib_jt_{ij} \,.$

Mit dieser Verknüpfung ist dann $\otimes$ : $V\times W \longrightarrow T$ mit $(v,w) \longmapsto v\otimes w$ bilinear und es gilt:

Ist ein -Vektorraum und $g:V \times W \to U$ bilinear dann existiert genau eine Abbildung $g*:T\to U$ mit $g^*(v\otimes w)=g((v,w))\quad \forall v \in V, w\in W$ .
Seien $(v'_1,\ldots,v'_n)$ und $(w'_1,\ldots,w'_n)$ Basen von bzw. , dann ist $(v_i \otimes w_j\vert 1\le i \le n , 1\le j \le m)$ eine Basis von .

Man nennt zusammen mit der Abbildung $(v,w) \mapsto v \otimes w$ das Tensorprodukt von und und schreibt $T=V\otimes W$ . $v \otimes w$ nennt man das Tensorprodukt von und .

Das Tensorprodukt ist durch diese Definition bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

[Verweise]

automatisch erstellt am 31. 10. 2006