Mathematik-Online-Lexikon: Cholesky Faktorisierung

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	Cholesky Faktorisierung

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Eine symmetrische positiv definite Matrix

besitzt eine eindeutige Faktorisierung

$\displaystyle S= R^{\operatorname t} R\,,$

wobei

eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist.

Die Faktorisierung kann durch sukzessives Lösen der Gleichungen

$\displaystyle s_{j,k} = r_{1,j} r_{1,k} + \cdots + r_{j,j} r_{j,k} \,, \quad k \geq j,$

für $j= 1, 2, \hdots$ bestimmt werden. Für jedes

wird zuerst

$\displaystyle r_{j,j} = \sqrt{s_{j,j}-\sum\limits_{i<j}r_{i,j}^2}$

berechnet und dann simultan für $k=j+1 , \hdots , n$ ,

$\displaystyle r_{j,k}= \left( s_{j,k} - \sum\limits_{i<j} r_{i,j} r_{i,k} \right)/ r_{j,j}\,.$

In beiden Fällen werden die vorher bestimmten Werte benutzt.

siehe auch:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013