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Mathematik-Online-Lexikon:

Gewichtete Gauss-Quadratur

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Seien $ x_k$ die Nullstellen des Orthogonalpolynoms vom Grad $ n$ zu einer Gewichtsfunktion $ w$ auf einem Intervall $ [a,b]$. Dann ist die auf polynomialer Interpolation basierende Quadraturformel

$\displaystyle \int_a^b f(x)w(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) $

für Polynome vom Grad $ <2n$ exakt. Die Gewichte $ w_k$ sind positiv und können als Integrale der Lagrange-Polynome berechnet werden:

$\displaystyle w_k = \int_a^b p_k w,\quad p_k(x) = \prod_{j\ne k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j} \,. $

Der Fehler ist gleich $ \gamma_n f^{(2n)}(\xi)$ für ein $ \xi\in[a,b]$ mit einer von der Gewichtsfunktion abhängigen Konstanten $ \gamma_n$.

Typ $ [a,b]$ $ w(t)$ $ \gamma_n$
       
Legendre $ [-1,1]$ $ 1$ $ \frac{2^{2n+1}(n!)^4}{(2n+1)((2n)!)^3}$
       
Tschebyscheff $ [-1,1]$ $ \sqrt{1-t^2}$ $ \frac{\pi}{2^{2n-1}(2n)!}$, $ n>0$
       
Jacobi $ [-1,1]$ $ (1+t)^r(1-t)^s$ $ \frac{2^{2n+r+s+1}n!\Gamma(n+r+1) \Gamma(n+s+1) \Gamma(n+r+s+1)} {(2n+r+s+1) \Gamma(2n+r+s+1)^2 (2n)!}$
       
Laguerre $ [0,\infty)$ $ \exp(-t)$ $ \frac{(n!)^2}{(2n)!}$
       
Hermite $ (-\infty,\infty)$ $ \exp(-t^2)$ $ \frac{\sqrt{\pi}n!}{2^n(2n)!}$

Die Tabelle zeigt die Parameter für die klassischen Orthogonalpolynome.

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013