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Mathematik-Online-Lexikon:

Bernoulli-Polynome


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Die normalisierten Bernoulli-Polynome sind durch die Rekursion

$\displaystyle p_{i+1}^\prime = p_i,\quad p_0(x)=1
$

definiert, wobei $ \int_0^1 p_i=0$ für $ i>0$.

% begin\{minipage\}
\begin{minipage}[t]{0.56\linewidth}
\mbox{}
\begin{center...
...c{1}{24} x^2
- \frac{1}{720}
\end{array}
\end{displaymath}
\end{minipage}


Die normalisierten Bernoulli-Polynome sind symmetrisch bezüglich $ t=1/2$, d.h. $ p_{2i-1}(\cdot-1/2)$ und $ p_{2i}(\cdot-1/2)$ sind ungerade bzw. gerade Funktionen.

Weiter gilt

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
p_{2i-1}(0) = p_{2i-1}(1/2) = p_{2i-1}(1)...
...
p_{2i-1}(t) \ne 0,\quad t\in(0,1/2)\cup(1/2,1)
\end{array}
\end{displaymath}

und

$\displaystyle \gamma_{2i} = p_{2i}(0) = p_{2i}(1)
$

ist entweder ein Minimum oder Maximum von $ p_{2i}$ auf $ [0,1]$.

Die Werte $ \gamma_{2i}$ werden als normierte Bernoulli-Zahlen bezeichnet. Für $ 2i \leq 16$ sind sie in der folgenden Tabelle angegeben.

\begin{displaymath}
\renewedcommand{arraystretch}{1.5}
\begin{array}{\vert c\v...
...000} \\ \hline
\end{array}
\renewedcommand{arraystretch}{1}
\end{displaymath}

Erläuterung:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013