Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Stabilitätsgebiete von Einschritt- und Mehrschrittverfahren


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Eine numerische Lösung $ u^h_\ell\approx u(t^h_\ell)$, $ t^h_\ell=t_0+\ell h$, eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u)
$

sollte das gleiche qualitative Verhalten wie die exakte Lösung haben. Besonders kritisch ist dabei die Approximation schnell abklingender Lösungskomponenten, wie z.B. für das Modellproblem

$\displaystyle u^\prime = \lambda u,\quad \operatorname{Re}\lambda<0
\,.
$

Dies motiviert die folgende Definition. Man bezeichnet die Menge aller komplexen Zahlen $ \omega=h\lambda$, für die die numerische Lösung des Modellproblems für $ \ell\to\infty$ gegen Null streben, als Stabilitätsgebiet $ \Omega$ des Verfahrens.

Die Relevanz des Modellproblems beruht auf der Linearisierung

$\displaystyle f \approx f_t\,(t-t_0) + f_u\,(u(t)-u(t_0))
\,.
$

Aufgrund der Lösungsstruktur für lineare Differentialgleichungssysteme spielen die Eigenwerte der Jacobi-Matrix $ f_u$ die Rolle des Parameters $ \lambda$ in dem Modellproblem. Als Voraussetzung für ein richtiges qualitatives Verhalten der Lösung sollte die Schrittweite $ h$ mindestens so klein gewählt werden, dass $ \lambda h\in \Omega$ für alle Eigenwerte mit negativem Realteil.
[Beispiele] [Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013