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Mathematik-Online-Lexikon:

Konvergenz von Einschrittverfahren

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Für ein konsistentes Einschrittverfahren zur Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u),\, t_0\le t\le t_0+T,\quad u(t_0) = u_0 \,, $

lässt sich der Fehler durch den Diskretisierungsfehler abschätzen:

$\displaystyle \Vert u^h_\ell - u(t^h_\ell)\Vert \le \mathrm{const}\,\delta $

für hinreichend kleine Schrittweiten $ h_\ell$. Dabei ist $ t^h_{\ell+1}=t^h_\ell+h_\ell$, $ u^h_\ell$ die numerische Approximation von $ u(t^h_\ell)$ und

$\displaystyle \delta = \max_{t_0\le t^h_\ell<t_0+T} \Vert\Delta(t_\ell^h,h_\ell)\Vert $

das Maximum des Diskretisierungsfehlers. Die Konstante $ \mathrm{const}$ hängt von dem Differentialgleichungssystem, dem Verfahren und der Intervalllänge $ T$, aber nicht von der Schrittweitenfolge $ h$ ab. Insbesondere gilt für ein Verfahren der Ordnung $ m$:

$\displaystyle \Vert u^h_\ell - u(t^h_\ell)\Vert = O(\vert h\vert^m) $

mit $ \vert h\vert=\max_{t_0\le t^h_\ell<t_0+T} h_\ell$.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013