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Mathematik-Online-Lexikon:

Identitäten für Bernstein-Polynome

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Für die Bernstein-Polynome

$\displaystyle b^n_k(t) = \binom{n}{k} (1-t)^{n-k}t^k,\quad k=0,\ldots,n, $

gelten die folgenden Identitäten:

Rekursive Auswertung:

$\displaystyle b^n_k(t) = tb^{n-1}_{k-1}(t) + (1-t) b^{n-1}_k(t). $

Differentiation:

$\displaystyle \left(b^n_k\right)^\prime = n \left(b^{n-1}_{k-1} - b^{n-1}_k\right). $

Integration:

$\displaystyle \int_0^1 b^n_k = \frac{1}{n+1}. $

Dabei wird $ b^n_k$ für Indizes $ k$ außerhalb des relevanten Bereichs $ \{0,\ldots,n\}$ Null gesetzt. Insbesondere ist $ b^{n-1}_{-1} = b^{n-1}_n = 0$ in den ersten beiden Identitäten.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013