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Mathematik-Online-Lexikon:

Riemann-Integral

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Das bestimmte Integral einer stückweise stetigen Funktion $ f$ ist durch

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\vert\Delta\vert\to0} \int_a^b f_\Delta = \lim_{\vert\Delta\vert\to0} \sum_{k} f(\xi_k)\,\Delta x_k $

definiert. Dabei bezeichnet $ \Delta:\,a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ eine Zerlegung von $ [a,b]$,

$\displaystyle \vert\Delta\vert=\max_k \Delta x_k\,, \qquad \Delta x_k=x_k-x_{k-1}\,, $

ist die maximale Intervallänge und $ \xi_k$ ein beliebiger Punkt im $ k$-ten Intervall. Die Summen auf der rechten Seite der Integraldefinition werden Riemann-Summen genannt.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{riemann_bild}

Für positives $ f$ entspricht $ \int_a^b f(x)\,dx$ dem Inhalt der Fläche unterhalb dem Graphen von $ f$.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 22.  9. 2016