Mathematik-Online-Lexikon: Viereck

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	Viereck

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Übersicht

Das allgemeine Viereck

$\includegraphics[width=0.55\linewidth]{V4_Viereck_B1}$
- Voraussetzungen:
  
  Verbindet man vier Punkte , , , in derselben Ebene über vier Geraden zu einem geschlossenen Polygonzug, so erhält man ein Viereck.
- Der Innenwinkelsatz:
  
  $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$
- Der Flächeninhalt eines allgemeinen Vierecks:
- Der Umfang eines Vierecks:
Das Drachenviereck

$\includegraphics[width=0.45\linewidth]{V4_Viereck_B7}$
- Voraussetzungen:
  
  Bei einem Drachenviereck gelten und und damit auch $\beta=\delta$ . Ferner stehen die Diagonalen und senkrecht aufeinander, wobei mindestens eine der Diagonalen von der anderen halbiert wird.
- Flächeninhalt:
  
  $A=\frac{1}{2}ef$
Das Trapez

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{V4_Viereck_B3}$
- Voraussetzungen:
  
  Im Trapez ist die Seite parallel zur Seite . Daraus folgt, dass im Trapez gilt: $\alpha+\delta=\beta+\gamma=180^\circ$ .
- Flächeninhalt:
  
  $A=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h$
Das Parallelogramm

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{V4_Viereck_B6}$
- Voraussetzungen:
  
  Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, d.h. es gilt:
  
  , und außerdem $\alpha=\gamma$ , $\beta=\delta$ und damit auch
  
  $\alpha+\beta=\alpha+\delta=\gamma+\beta=\gamma+\delta=180^\circ$ .
- Flächeninhalt:
  
  $A=a\cdot h_a = b\cdot h_b$
Der Rhombus (auch Raute genannt)

$\includegraphics[width=0.45\linewidth]{V4_Viereck_B5}$
- Voraussetzungen:
  
  Im Rhombus sind gegenüberliegende Seiten parallel. Desweiteren sind alle Seiten gleich lang, d.h.:
  
  und daraus folgt $\alpha=\gamma$ und $\beta=\delta$ und damit $\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^\circ$ .
- Flächeninhalt:
  
  $A=\frac{1}{2}ef$
Das Rechteck

$\includegraphics[width=0.45\linewidth]{V4_Viereck_B4}$
- Voraussetzungen:
  
  Im Rechteck sind gegenüberliegende Seiten parallel, benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander. Daher gilt das Folgende:
  
  $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^\circ$ .
  Außerdem sind die Diagonalen gleich lang und halbieren einander; die Länge der Diagonalen ergibt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras, d.h. es ist:
  
  $e=f=\sqrt{a^2+b^2}$ .
- Flächeninhalt:
Das Quadrat

$\includegraphics[width=0.45\linewidth]{V4_Viereck_B2}$
- Voraussetzungen:
  
  Im Quadrat sind alle Seiten gleich lang und benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander, so dass auch hier gegenüberliegende Seiten parallel sind. Die Diagonalen sind gleich lang, halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander und berechnen sich nach dem Satz des Pythagoras. Es ist also:
  
  und $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^\circ$
  sowie
  
  $e=f=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$ .
- Flächeninhalt:
Konstruktion aus Kenngrößen
Im Gegensatz zum Dreieck, bei dem drei geeignet gewählte Größen für eine eindeutige Konstruktion ausreichen, benötigt man für ein eindeutiges Viereck meistens fünf und manchmal sogar sechs geschickte Größen.

Man beachte, dass durch die Anweisung ,,Zeichne ein Quadrat mit Seitenlänge cm!``, bereits mindestens 6 Größen gegeben sind, aus denen sich eindeutig das geforderte Quadrat konstruieren lässt (cm: die Seitenlänge ; Quadrat: mindestens zwei weitere Seitenlängen cm, mindestens drei Winkel $\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$ und damit auch Längen und Schnittwinkel der Diagonalen).
Das Haus der Vierecke
Um die Zusammenhänge der obigen Spezialfälle zu verdeutlichen, soll folgende Skizze dienen:

$\includegraphics[width=0.9\linewidth, bb=54 360 502 710,clip]{V4_Viereck_B8}$

(Autoren: Gutzer/Hager/Rolla/Stubenvoll)

siehe auch:

Stichwort: Viereck

automatisch erstellt am 28. 8. 2008