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Mathematik-Online-Lexikon:

Peano Axiome

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Von Giuseppe Peano (1858-1932) stammen die folgenden Axiome, um die Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N}$ axiomatisch zu fassen. Sie wurden 1892 veröffentlicht. Er formalisiert hierbei, die von Richard Dedekind (1831-1916) bereits 1888 in dessen Artikel ,,Was sind und was sollen die Zahlen `` dargelegten Axiome. Man spricht daher auch von den ,, Peano-Dedekindschen ``Axiomen.

P1
$ 1$ ist eine natürliche Zahl.

P2
Jede Zahl $ n$ hat genau einen Nachfolger $ n'$.

P3
$ 1$ ist kein Nachfolger einer Zahl.

P4
Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl.

P5
Jede Menge, die die Zahl $ 1$ enthält und die zu jeder Zahl $ n$ auch deren Nachfolger $ n'$ enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.

Auf dem Axiom P5 beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion. Die Axiome werden häufig auch in der Weise formuliert, dass man $ 1$ durch 0 ersetzt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 12. 11. 2008