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Mathematik-Online-Lexikon:

Cauchy-Kriterium für Reihen

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Die Reihe $ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k$ konvergiert genau, dann wenn wenn für alle $ \varepsilon >0$ ein $ n_{\varepsilon}$ existiert, so dass für $ n > m > n_{\varepsilon}$ gilt:

$\displaystyle \vert a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n\vert < \varepsilon. $

Für die Partialsummen $ s_n$ und $ s_m$ ist $ s_n - s_m = a_{m+1}+ a_{m+2,}+...+a_n$, also entspricht die obige Aussage dem Cauchy-Kriterium für Folgen:

$\displaystyle s_n$   konvergiert$\displaystyle \; \Leftrightarrow \; s_n$   ist eine Cauchy-folge$\displaystyle . $

(Aus: Vorkurs Mathematik)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  5. 2009