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Mathematik-Online-Lexikon:

Taylor-Reihe

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Die Taylor-Reihe einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $ f$ im Punkt $ x_0$ ist eine Entwicklung in eine Potenz-Reihe:

$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty\,a_n\,(x-x_0)^n,\quad a_n = \frac{1}{n!}\,f^{(n)}(x_0)\,. $

Für $ x \in \mathbb{R}$ konvergiert die Reihe sowie alle ihre Ableitungen absolut in einem Intervall $ (x_0-r, x_0+r)$ und divergiert für $ \vert x - x_0\vert > r$ . Für $ \vert x - x_0\vert = r$ sind ohne weitere Untersuchungen keine Aussagen über die Konvergenz der Reihe möglich.

Die Schranke $ r$ für den Abstand vom Entwicklungspunkt wird als Konvergenz-Radius bezeichnet und lässt sich mit der Formel

$\displaystyle r = \left( \operatorname*{\overline{\lim}}_{n\to\infty}\,\vert a_n\vert^{1/n} \right)^{-1} $

berechnen. Dabei sind die Werte $ r=0$ und $ r=\infty$ möglich. Das Konvergenz-Intervall ist in diesen Fällen leer bzw. ganz $ \mathbb{R}$ .

Beispiele:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013