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Mathematik-Online-Lexikon:

Newton-Verfahren

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Mit dem Newton-Verfahren kann eine Nullstelle $ x_\ast$ einer Funktion $ f$ numerisch bestimmt werden. Dabei wird durch Linearisierung eine Folge $ x_0,\,x_1\,\ldots$ von Approximationen für $ x_\ast$ generiert. Die Näherung $ x_{\ell+1}$ ist der Schnittpunkt der Tangente im Punkt $ \left( x_\ell,f(x_\ell) \right)$ mit der $ x$-Achse:

$\displaystyle x_{\ell+1} = x_\ell - f(x_\ell)/f^\prime(x_\ell)$

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{Newton_Verfahren}

Für eine einfache Nullstelle $ x_\ast$ ( $ f^\prime(x_\ast)\neq 0$) konvergiert die Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h.

$\displaystyle \left\vert x_{\ell+1}-x_{\ast} \right\vert \leq c\; \left\vert x_{\ell}-x_{\ast} \right\vert^2 $

für Startpunkte $ x_0$ in einer hinreichend kleinen Umgebung von $ x_\ast$.

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  automatisch erstellt am 17.  6. 2016