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Mathematik-Online-Lexikon:

Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen


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Sei $ A$ eine symmetrische, reelle $ (n \times n)$-Matrix. Dann besitzt sie $ n$ nichttriviale, paarweise verschiedene, zueinander orthogonale Eigenvektoren, d.h. es gibt eine Orthonormalbasis von $ {\mathbb{R}^n}$ bestehend aus Eigenvektoren von $ A$. Ist $ \{v_1, v_2,\dots, v_n\}$ eine solche Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A$, so gilt mit $ T = (v_1, v_2,\dots, v_n)$, daß

$\displaystyle T^{-1}AT = D =
\left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \cd...
...& \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n
\end{array}
\right) ,
$

wobei $ \lambda_i$ der zu $ v_i$ gehörende Eigenvektor ist. Es gilt $ T^{-1} = T^{\operatorname t}$, d.h. symmetrische reelle Matrizen sind orthogonal diagonalisierbar.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006