Mathematik-Online-Lexikon: Riemannsche Zeta Funktion

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Riemannsche Zeta Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Die für reelles

durch

$\displaystyle \zeta (z) = \sum^\infty_{n=1}{n^{-z}}$

definierte Zeta-Funktion wird durch die Integraldarstellung

$\displaystyle \zeta (z) = \frac{2^{z-1}}{z-1} - 2^z \int\limits_0^\infty { \frac {\sin {(z \arctan{t})}}{(1+t^2)^{z/2} (e^{\pi t}+1)}}\, dt$

auf $\mathbb{C}\backslash\{1\}$ fortgesetzt. Riemann vermutete, dass die einzigen komplexen Nullstellen von $\zeta$ auf der Geraden

$\displaystyle z = \frac{1}{2} + y \sqrt{-1},\quad y \in \mathbb{R}\,,$

liegen.

Einige spezielle Werte sind:

$\displaystyle \zeta (2) = \frac {\pi ^ 2}{6}\,, \qquad \zeta (4) = \frac {\pi ^ 4}{90}\,.$

automatisch erstellt am 19. 8. 2013