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Mathematik-Online-Lexikon:

Gaußsche Zahlenebene

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Komplexe Zahlen $ z=x+\mathrm{i}y$ lassen sich mit den Punkten der Ebene identifizieren. Der Betrag entspricht dem Abstand vom Ursprung, Real- und Imaginärteil sind die Projektionen auf die reelle bzw. imaginäre Achse, und die konjugiert komplexe Zahl ergibt sich durch Spiegelung an der reellen Achse.

\includegraphics[width=0.4\moimagesize]{a_gausssche_bild1} \includegraphics[width=0.4\moimagesize]{a_gausssche_bild2}

In Polarkoordinaten erhält man aus der Formel von Euler-Moivre die Darstellung

$\displaystyle z = r(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi) = r \exp(\mathrm{i}\varphi) $

mit $ r = \vert z\vert$. Der Winkel $ \varphi$ ist nur bis auf Vielfache von $ 2\pi$ bestimmt und wird als Argument von $ z$ bezeichnet:

$\displaystyle \varphi = \operatorname{arg}(z)\, . $

Als Standardbereich (Hauptwert) wird das Intervall $ (-\pi,\pi]$ vereinbart.

Es gilt

$\displaystyle \tan\varphi = \frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\, , $

Das Argument $ \operatorname{arg}(z)$ kann also mit Hilfe der Arcustangens-Funktion aus dem Quotienten $ y/x$ bestimmt werden. Dabei ist der richtige Zweig zu wählen, d. h., falls $ \operatorname{Re}(z)<0$ muß $ \pi$ oder $ -\pi$ zum Wert der Umkehrfunktion addiert werden.

Die Polardarstellung einiger komplexer Zahlen ist in der folgenden Tabelle angegeben.

$ z$ $ 1$ $ -1$ $ \pm\mathrm{i}$ $ 1\pm\mathrm{i}$ $ \sqrt{3}\pm\mathrm{i}$ $ 1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}$
$ r$ $ 1$ $ 1$ $ 1$ $ \sqrt{2}$ $ 2$ $ 2$
$ \varphi$ 0 $ \pi$ $ \pm\pi/2$ $ \pm\pi/4$ $ \pm\pi/6$ $ \pm\pi/3$

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013