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Mathematik-Online-Lexikon:

Polynom in Newton-Form

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Die Newton-Form eines Polynoms $ p$ vom Grad $ \le n$ bzgl. der Punktfolge $ x_0,x_1,\ldots$ ist

$\displaystyle p(x) = a_0 + a_1 (x-x_0) + \cdots + a_n (x-x_0) \cdots (x-x_{n-1}) \,. $

Insbesondere erhält man für $ x_0 = \cdots = x_{n-1}$ die Taylor-Entwicklung von $ p$ im Punkt $ x_0$.

Die Newton-Form kann mit dem Horner-Schema ausgewertet werden:

$\displaystyle p(x) = (\cdots (a_n y_{n-1} + a_{n-1})y_{n-2} + \cdots)y_0 + a_0 $

mit $ y_k = x-x_k$. Durch die geschachtelte Multiplikation werden lediglich $ 3n$ Operationen benötigt. Ausgehend von $ p=a_n$ berechnet man

$\displaystyle p \leftarrow p y_k + a_k $

für $ k=n-1,\ldots,0$.

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013