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Mathematik-Online-Lexikon:

Dreigliedrige Rekursion für orthogonale Polynome


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Die orthogonalen Polynome

$\displaystyle q_n(x) = x^n + O(x^{n-1})
$

zu einer Gewichtsfunktion $ w$ auf einem Intervall $ (a,b)$ können rekursiv berechnet werden:

$\displaystyle q_{n+1} =
(\xi-\beta_n)q_n - \gamma_n q_{n-1},\quad n>1
\,,
$

mit $ \xi(x) = x$. Die Koeffizienten lassen sich mit Hilfe des Skalarproduktes $ \langle f,g \rangle = \int_a^b fg\ w$ ausdrücken:

$\displaystyle \beta_n = \langle \xi q_n,q_n \rangle / \varrho_n,
\quad \gamma_n = \varrho_n/\varrho_{n-1}
$

mit $ \varrho_n = \langle q_n,q_n \rangle$.

Wählt man für die orthogonalen Polynome die andere Normierung

$\displaystyle p_n(x) = \alpha_n x^n + O(x^{n-1})
\,,
$

so ändert sich die Rekursion entsprechend:

$\displaystyle p_{n+1} = \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}
(\xi - \beta^\prime_n) ...
...-
\frac{\alpha_{n-1}\alpha_{n+1}}{\alpha_n^2}
\gamma^\prime_n p_{n-1}
\,.
$

Dabei deutet der Apostroph an, dass die Koeffizienten $ \beta^\prime_n$ und $ \gamma^\prime_n$ durch die Polynome $ p_n$ definiert sind.

Erläuterung:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013